クレジットカードでの注文が入っていたのですが、オペレーションとしては配送完了した後に配送完了というステータスにすればいいのでしょうか？

下記リンクの注文確定の詳細のページをご覧ください。
https://launchcart.jp/manual/%e5%8f%97%e6%b3%a8%e3%81%ae%e6%89%b1%e3%81%84%e6%96%b9%e3%81%ab%e3%81%a4%e3%81%84%e3%81%a6/